Himpunan Bagian
1. Pengertian Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dan dinotasikan A⊂B. Akan tetapi, jika ada anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B maka himpunan A bukan himpunan bagian B.
Contoh:
S={binatang yang ada di kebun binatang}
A={binatang unggas}
B={burung berkicau}
K={burung dikebun binatang yang makan besi}
Terlihat:
a. Setiap anggota himpunan B menjadi anggota A. Jadi B himpunan bagian dari A, ditulis B⊂A
b. Setiap anggota himpunan K menjadi anggota A, Jadi K himpunan bagian dari A, ditulis K⊂A
2. Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Misalkan, P= {1,2,3,4}
A= himpunan bilangan genap yang menjadi anggota P
B= himpunan bilangan prima yang menjadi anggota P
C= himpunan bilangan yang kuranag dari 2 yang menjadi anggota P
D= himpunan bilangan yang kurang dari 5 yang menjadi anggota P
E= himpunan bilangan yang lebih dari 4 yang menjadi anggota P
Anggota himpunan A,B,C,D, dan E dibentuk dari himpunan P sehingga
a. A ⊂ P
b. B ⊂ P
c. C ⊂ P
d. D ⊂ P
e. E ⊂ P
Jika hubungan dari himpunan dinyatakan dengan mendaftarkan anggotanya, maka diperolehhasil sebagai berikut.
a. {2,4} ⊂ {1,2,3,4}
b. {2,3} ⊂ {1,2,3,4}
c. {3} ⊂ {1,2,3,4}
d. {1,2,3,4} ⊂ {1,2,3,4}
e. { } ⊂ 1,2,3,4
3. Banyak Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Jika banyaknya anggota suatu himpunan adalah n banyaknya himpunan bagian adalah 2n.
Contoh:
Diketahui himpunan B = {a,b,c,d}
a. Sebutkan himpunan bagian dari B!
b. Berapa banyak himpunan bagiannya?
Penyelesaian:
a. Himpuna bagian dari B = { }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}.
b. Dari jawaban bagian a, maka
n(B) = 4
Banyak himpunan bagiannya = 2n = 24= 16
Diagram Venn dan Operasi Himpunan
Diketahui himpunan A = {bilangan genap kurang dari 10} dan B = {lima bilangan prima yang pertama}. Himpunan semesta kedua himpunan adalah S = {bilangan asli kurang dari 15}. Penyelesaian:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
A = {2,4,6,8}
B = {2,3,5,7,11}
Antara himpunan A dan B terdapat anggota persekutuan, yaitu 2. Himpunan A dan B saling berpotongan.
Hubungan aantara himpunan lebih jelas disajikan dengan gambar, yang dikenal dengan Diagram Venn. Inilah diagram Venn untuk hubungan diatas.
Aturan dalam menggambar diagram Venn:
1. Himpunan semesta S digambarkan dengan persegi panjang dan diberi symbol S di sudut kiri atas.
2. Setiap anggota himpunan S digambarkan dengan noktah (.) diikuti objeknya didalam persegi panjang tersebut, missal .1, .2, .3, dan seterusnya.
3. Himpunan Bagian dari S missal A, digambarkan dengan kurva tertutup yang memuat anggota-anggota A.
Beberapa Operasi Himpunan:
1. Irisan (Intersection)
Diketahui Himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B. Irisan himpunan A dan B dilambangkan dengan A ∩ B (dibaca: A irisan B).
Notasi pembentuk himpunannya: A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈B}
2. Gabungan (Union)
Gabungan berarti penyatuan objek-objek yang sedang dibcarakan. Jika dua buah himpunan digabungkan, akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri atas anggota kedua himpunan tersebut. Gabungan himpunan A dan B dilambangkan dengan A ∪ B (dibaca A gabung B). Notasi pementuk himpunannya: A ∪B = {x|x ∈A atau x ∈ B}
Perbedaan antara kata dan dengan atau sebagai berikut.
a. x ∈ A dan x ∈ B, kedua syarat ini harus dipenuhi dalam satu kondisi. Dengan kata lain, A dan B bersama-sama memiliki x.
b. x ∈ A atau x ∈ B mempunyai tiga kemungkinan, yaitu:
1) x ∈ A saja;
2) x ∈ B saja; atau
3) x ∈ A dan x ∈ B.
3. Kurang (Difference)
Himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A, tetapi bukan anggota himpunan B disebut himpunan A kurang B dan dilambangkan dengan A – B atau A \ B. A kurang B dapat dinyatakan menggunakan notasi himpunan sebagai berikut.
A – B = {x|x ∈ A dan x ∉B}
4. Komplemen
Komplemen himpuna A adalah himpunan yang terdiri atas semua anggota himpunan semesta, tetapi bukan anggota himpunan A dan ditulis AC atau A’.
Komplemen A dapat dinyatakan dengan notasi himpunan sebagai berikut.
AC = {x|x ∈ S dan x ∉A}
