MATERI SMP KELAS VIII - FAKTORISASI ALJABAR I

I. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

          Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai

berikut.

a. Sifat Komutatif

    a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil

b. Sifat Asosiatif

    (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil

c. Sifat Distributif

    a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Contoh Soal 1:

Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. 6mn + 3mn

b. 16x + 3 + 3x + 4

c. –x – y + x – 3

d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p

e. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n²

Jawab:

a. 6mn + 3mn = 9mn

b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4

                                = 19x + 7

c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3

                          = –y – 3

d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p = 2p + 3p – 3p² + 2q – 5q²

                                            = 5p – 3p² + 2q – 5q²

                                            = –3p² + 5p – 5q² + 2q

e. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n² = 6m + 3m² – 3n²– 2m² + 3n²

                                                  = 6m + 3m² – 2m² – 3n²+ 3n²

                                                  = m² + 6m

Contoh Soal 2:

Tentukan hasil dari:

a. penjumlahan 10x² + 6xy – 12 dan –4x²– 2xy + 10,

b. pengurangan 8p² + 10p + 15 dari 4p²– 10p – 5.

Jawab:

a. 10x²+ 6xy – 12 + (–4x² – 2xy + 10) = 10x²– 4x² + 6xy – 2xy – 12 + 10

                                                              = 6x² + 4xy – 2

b. (4p²– 10p – 5) – (8p² + 10p + 15) = 4p²– 8p² – 10p –10p – 5 – 15

                                                            = –4p² – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

          Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributive merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua

    Contoh Soal:

    Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.

    a. 2(x + 3) = 2x + 6

    b. –5(9 – y) = –45 + 5y

    c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x

    d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

    Contoh Soal 1:

a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3

                          = x²+ 5x + 3x + 15

                          = x²+ 8x + 15

b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1

                          = x²– 4x + x – 4

                          = x²– 3x – 4

c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1

                              = 6x²+ 12x + 2x + 4

                              = 6x²+ 14x + 4

d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)

                              = –3x²+ 2x + 15x – 10

                              = –3x²+ 17x – 10

    Contoh Soal 2:

    Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar (6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.

    Jawab:

    Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm

    Ditanyakan : luas persegipanjang

    Luas = p × l

             = (5x + 3)(6x – 2)

             = (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)

             = 30 x² + 18x – 10x – 6

             = 30 x² + 8x – 6

    Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x² + 8x – 6) cm²

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Tentukan hasil pembagian berikut.

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

          Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

     aⁿ = a x a x a x …x a (sebanyak n faktor)

          Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli. Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

     a. a⁵ = a × a × a × a × a

     b. (2a)³ = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a³

     c. (–3p)⁴ = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)

                    = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p)

                    = 81p4

     d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2

          Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:

(a + b)² = (a + b) (a + b)

              = (a + b)a + (a + b)b

             = a² + ab + ab + b²

             = a²+ 2ab + b²

          Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)² juga dapat ditulis sebagai:

(a – b) ² = (a – b) (a – b)

             = (a – b)a + (a – b)(–b)

             = a² – ab – ab + b²

             = a²– 2ab + b²

Contoh Soal:

Tentukan hasil kuadrat dari bentuk aljabar berikut.

a. (x + 1)² = (x) ² + 2(x)(1) + (1) ²= x² + 2x + 1

b. (2p – 3q) ² = (2p) ²– 2(2p)(3q) + (3q) ² = 4p² – 12pq + 9q²

          Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)³, sebagai berikut.

(a + b)³ = (a + b) (a + b)²

              = (a + b) (a² + 2ab + b²)                        (a+b)²= a² + 2ab + b²

              = a(a²+ 2ab + b²) + b (a² + 2 ab + b²)  (menggunakan cara skema)

              = a³ + 2a2b + a²b + ab² +2ab²+ b³    (suku yang sejenis dikelompokkan)

              = a³ + 3a²b + 3ab² + b³                        (operasikan suku-suku yang sejenis)

          Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

 

           Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut 

 

          Dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b²+ 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³+ 5ab⁴ + b⁵

dan seterusnya.

          Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(a – b)⁴ = a⁴  – 4a³b + 6a²b²– 4ab³ + b⁴

(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴ b + 10a³b2 – 10a²b³+ 5ab⁴  – b⁵

     Contoh Soal:

     Uraikan perpangkatan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. (x + 5)² = x²+ 2(x)(5) + 5²

                 = x² + 10x + 25

b. (2x + 3)³ = (2x)³ + 3(2x) ² (3) + 3(2x)(3) ² + 3³

                   = 8x³ + 36x²+ 54x + 27

c. (x – 2)4 = x4 – 4 (x)³(2) + 6(x) ² (2) ² – 4(x)(2) ³+ 24

                 = x4 – 8x³+ 24x²– 32x + 16

d. (3x – 4) ³ = (3x)³ – 3(3x) ² (4) + 3(3x)(4) ² – (4)³

                    = 27x³ – 108x² + 144x – 64

DAFTAR PUSTAKA

Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk Kelas VIII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

 

MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT)

II. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

A. Penjumlahan pada Bilangan Bulat

a. Penjumlahan dengan alat bantu

          Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut. Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

    Contoh:

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan!

1). 6 + (–8) = …

    Penyelesaian:

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

     (b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

     (c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2). (–3) + (–4) = …

    Penyelesaian:

 Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

     (b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.

     (c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.

b. Penjumlahan tanpa alat bantu

          Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

1) Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

     Contoh:

     a) 125 + 234 = 359

     b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

     Contoh:

     a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15

     b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

B. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

a. Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

     Contoh:

     1).  –16 + 25 = 9

          –16 dan 25 merupakan bilangan bulat.

          9 juga merupakan bilangan bulat.

     2). 24 + (–8) = 16

          24 dan –8 merupakan bilangan bulat.

          16 juga merupakan bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

          Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

     Contoh:

     1). 6 + 5 = 5 + 6 = 11

     2). (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3

     3). 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4

     4). (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitas

          Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

d. Sifat asosiatif

          Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

     Contoh:

1). (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6 = 5

      4 + ((–5) + 6) = 4 + 1 = 5

     Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).

2). (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10 = –2

      –3 + ((–9) + 10) = –3 + 1 = –2

      Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai invers

          Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)). Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a.

          Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku: a + (–a) = (–a) + a = 0.

C. Pengurangan pada Bilangan Bulat

          Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

          Perhatikan uraian berikut.

a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

          Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.

          1). 4 – 3 = …

          2). 4 + (–3) = …

          3). –5 – (–2) = …

          4). –5 + 2 = …

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

4 – 3 = 4 + (–3) = 1

–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

          Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku: a – b = a + (–b).

          Contoh:

          1). 7 – 9 = 7 + (–9) = –2

          2). –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

          3). 15 – (–5) = 15 + 5 = 20

          4). –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

          Pada contoh di atas dapat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantu

          Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

     Contoh:

1). 4 – 7 = …

          Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.

     (b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

     (c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.

2). –3 – (–5) = …

Penyelesaian:

Langkah-langkah untuk menghitung –3 – (–5) sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

     (b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.

     (c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.

Lihat Juga:
MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (PENGERTIAN BILANGAN BULAT)
MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT)

DAFTAR PUSTAKA

Nuharini, Dewi. 2008. Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (PENGERTIAN BILANGAN BULAT)

BILANGAN BULAT

A. Pengertian Bilangan Bulat

Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan,

apa yang kalian peroleh?

Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.

Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang?

Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2. Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan

B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif

{..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif

{1, 2, 3, ...}.

B. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Seharihari

Perhatikan Gambar 1.2. Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan. Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis –10 m.

C. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

D. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat

Perhatikan garis bilangan di atas.

Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan, makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku:

     a. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;

     b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.

Contoh:

Pada suatu garis bilangan, bilangan –3 terletak di sebelah kiri bilangan 2 sehingga ditulis –3 < 2 atau 2 > –3. Adapun bilangan –3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis –3 > –5 atau –5 < –3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh –5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.

Lihat Juga:
MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (PENGERTIAN BILANGAN BULAT)
MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT)

DAFTAR PUSTAKA

Nuharini, Dewi. 2008. Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional